lunedì 26 agosto 2019

IL CONCETTO DI INFINITO


Anche se l’uomo è per sua natura finito e limitato, non di rado si imbatte nel concetto di infinito.  
Basti pensare a due binari che corrono paralleli fino alla linea di orizzonte e ci fanno pensare a due linee parallele che si incontrano all'infinito,all'immensità del cielo stellato in una notte d’estate. 
Sono tutte situazioni in cui l’uomo si imbatte nell'infinito ed avverte la necessità di comprenderlo meglio o ragionare su di esso. 
Il suo stesso concetto è molto sfuggente, e ci si rende conto che volerlo esplicitare mette in difficoltà chi si avventura in questo proponimento. 
Indagando sul concetto di infinito, si ha la sensazione simile a quella di un essere abituato a vivere in un mondo piatto e bidimensionale a due dimensioni, che sia improvvisamente catapultato in uno spazio a tre dimensioni, e avverte subito un senso di smarrimento e crollo di tutte le sue certezze. 
Approfondire il concetto di infinito è quasi come affacciarsi sull'orlo di un abisso, e molti matematici ne hanno fatto oggetto delle loro ricerche, inseguendolo ossessivamente per tutta la vita, riuscendo solo a coglierne qualche aspetto, ed alla data odierna si può considerare un problema aperto.
In matematica più che in altri settori, ci si imbatte frequentemente nel concetto di infinito, anzi possiamo dire senza ombra di dubbio che la matematica è pervasa dal  concetto di infinito, basti pensare al concetto, di numero, di limite, di successione, di asintoto, di integrale, di serie, di prodotto infinito, ecc. 
Nel pensiero matematico greco, ancora valido anche ai giorni nostri, si distinguevano due tipi di infiniti : 
L’infinito in potenza
L’infinito in atto.

L’INFINITO IN POTENZA è un concetto più semplice da capire e più vicino al senso comune e lo si incontra per la prima volta quando si parla di successioni o somme infinite. 
Ma spesso il solo maneggiare somme infinite, senza gli adeguati strumenti ci fa incappare in paradossi. 
Si pensi ad un semplicissimo esempio di serie che ha turbato non poco il sonno di illustri matematici del passato e che rappresenta il concetto di infinito in potenza: 

S=1-1+1-1+1-1+...

Ragionando, come per le normali somme, si potrebbe concludere raggruppando i termini a due a due che la somma si può calcolare in questo modo: 

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+..= 0+0+0+0+0+.. = 0

Ma si può anche operare lecitamente in altro modo

S=1+(-1+1)+(-1+1)+..= 1+0+0+0+.. = 1

Ma si può anche operare lecitamente in altro modo


2S = 1-1+1-1+1+..
       1-1+1-1+1+..
__________________
2S = 1+0+0+0+0+0+..

Sommando in verticale a due a due i termini nell'equazione a destra si ottiene:

2S = 1

da cui di conclude che 

S = 1/2 = 0,50


Ma allora quanto vale la somma ? 0, 0.50 oppure 1 ?
Si conclude che per operare con le somme di infiniti numeri non si possono applicare le usuali regole che si applicano per le somme di un numero finito di termini. 
Siamo di fronte ad uno dei primi paradossi legati al concetto di infinito. 
Il paradosso precedente è stato superato dalla matematica moderna, per il fatto che la somma che noi vogliamo trovare, semplicemente non esiste, perché si tratta di una serie non convergente. 
Infatti il termine generico della somma che si può scrivere in maniera più concisa come (-1)^n ,con appartenente all'insieme dei numeri naturali N , non rispetta una condizione necessaria per la convergenza derivante dal criterio di convergenza di Cauchy per i limiti di successioni: 

il termine ennesimo di una serie che ammette una somma (o convergente) tende a zero al tendere di all'infinito.

In sostanza nel precedente paradosso ci siamo lanciati alla ricerca della somma della serie, ma senza chiederci se la somma potesse esistere. 
L’infinito in potenza è un concetto più semplice da capire per la mente umana, dato che si fonda sul concetto di induzione, tipico dei ragionamenti matematici. 
Il concetto di induzione lo abbiamo usato nell'esempio precedente quando abbiamo pensato di sommare un numero finito di termini della serie o somma infinita di cui innanzi e poi abbiamo esteso per induzione la somma all'infinito. 
Il sostanza il principio di induzione in parole povere consiste nel ragionare su un numero finito di termini per una certa proprietà e di estendere poi quando trovato all'infinito. Un semplice esempio di induzione è il seguente : 

2S(n) = 1+ 2   + 3   + 4   +..+(n-1)+n
        n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+..+ 2   +1
______________________________________
2S(n) = n(n+1)

Da cui si conclude che :

S(n) = [n(n+1)]/2

Quindi la somma di infiniti termini rappresenta un esempio tipico di infinito in potenza, quanto sappiamo che S(n)tende a infinito (o diverge), però ragionando su un numero finito di termini la sappiamo calcolare. Esempio : 

S(100) = [100(100+1)]/2 = 5050
S(1000) = [1000(1000+1)]/2 = 500500
S(100000) = [100000(100000+1)]/2 = 5000050000

e cosi fino all'infinito. 
Una caratteristica saliente, ma molto raffinata del concetto di infinito in potenza è che, anche se parliamo di insiemi infiniti, hanno la caratteristica di potersi mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, cioè è possibile contarli, anche se il tempo necessario per contarli è infinito. 
Si dice quindi che gli insiemi infiniti in potenza, sono insiemi numerabili.
Insiemi infiniti numerabili sono l'insieme dei numeri naturali N, l'insieme dei numeri razionali Q (insieme dei numeri decimali esprimibili come rapporto di numeri interi).
La numerabilità dell'insieme dei numeri razionali Q fu provata da G. Cantor mediante il seguente ragionamento:
si dispongano i numeri naturali sia in orizzontale che in verticale e si calcolino tutte le possibili frazioni ottenibili con essi incrociandoli a due a due analogamente all'operazione di prodotto cartesiano e come si vede si ottiene un insieme che è possibile mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali N.


Infatti seguendo il verso delle frecce si ottiene la successione :
(1/1),(1/2),(2/1),(3/1),(2/2),(1/3),(1/4) che, come si vede seguendo il verso delle frecce rosse, è numerabile. 

L’INFINITO IN ATTO è un concetto molto più complesso e necessita di un ragionamento adeguato per illustrarlo e il primo a cimentarsi con tale concetto fu l'illustre matematico tedesco Georg Cantor. 
La sostanziale differenza tra un insieme infinito in atto e un insieme in potenza risiede nel fatto che un insieme in potenza ha una numerabilità maggiore di quella dei numeri naturali: in sostanza non è possibile contare i suoi elementi, anche impiegando un tempo infinito
E' un concetto che in un certo senso sconcerta il senso comune che, mediante il principio di induzione, riesce a concepire un insieme infinito in potenza, ma che rimane disorientato rispetto ad un infinito in atto. 
Un notevole esempio di infinito in atto è l'insieme R dei numeri reali (numeri naturali e razionali a cui sono stati aggiunti gli irrazionali non periodici- esempio Pigreco, e , ecc.). 
Il suddetto insieme R contiene al suo interno l'insieme N, e quello dei numeri razionali Q .
Il matematico Georg Cantor con il suo famoso "argomento diagonale" seguente riuscì a provare che l'insieme R ha una numerabilità superiore a quella dei numeri naturali dato che non è possibile contare i suoi elementi.
Per provarlo supponiamo di aver messo in corrispondenza biunivoca l'insieme dei numeri naturali con l'insieme dei numeri reali e immaginiamo di aver riportato tutto nella tabella di corrispondenza seguente:




Dopo averlo fatto ci rendiamo conto che rimarrebbe sempre almeno un elemento che non abbiamo considerato, dato che al numero reale ottenuto sommando uno a tutte le cifre decimali segnate in rosso e riportate in blu in basso non sarebbe associato alcun numero reale. Quindi si conclude che esistono diversi ordini di infinito (o cardinalità) e l'insieme R è un insieme infinito che ha una cardinalità maggiore di quella degli insiemi che contiene.

La numerabilità di un insieme infinito si indica in matematica con la prima lettera dell'alfabeto ebraico אo.
Quindi l'insieme dei numeri naturali N e quello dei razionali Q hanno ordine di infinito o cardinalità אo, mentre l'insieme dei numeri reali ha cardinalità אl .
Ancora oggi rimane un problema irrisolto provare l'esistenza di insiemi infiniti che abbiano una cardinalità intermedia tra אאl, si è congetturato che non esistano. 
Tale congettura matematica, fino a che non viene smentita con un controesempio, è indicata come ipotesi del continuo.
L'insieme dei numeri reali che è alla base della moderna analisi matematica possiede delle caratteristiche che lo rendono unico e superiore rispetto a e Q
Infatti per esempio nell'insieme possiamo dire dopo n viene il numero n+1, la stessa cosa non possiamo dire in dato che fra due numeri reali ci sono infiniti numeri reali, l'insieme stesso è denso.
Inoltre possiede delle caratteristiche sconcertanti per il senso comune, infatti una sua parte è possibile metterla in corrispondenza biunivoca con l'intero insieme, e l'insieme delle parti dell'insieme ha cardinalità 2^אo.
Questa proprietà d'altronde è comune anche agli insiemi in potenza, basti pensare alla possibilità di mettere in corrispondenza biunivoca l'insieme dei numeri naturali pari o i dispari con l'intero insieme dei numeri naturali, dato che che è possibile contare (impiegandoci un tempo infinito) i numeri naturali pari o quelli dispari.
Quanto innanzi enunciato è possibile provarlo evidenziando che i numeri reali compresi nell'intervallo aperto 0 ed 1 (cioè senza i punti di estremità 0 ed 1) si possono mettere in corrispondenza con l'intera retta reale, qualcosa di davvero incredibile.
Quindi gli insiemi infiniti hanno la notevole proprietà che una parte di essi è possibile metterla in corrispondenza biunivoca con l'insieme stesso, cioè il tutto è equivalente ad una sua parte
Una proprietà quest'ultima davvero sconcertante che ci fa rendere che approfondire il concetto di infinito trascende le regole logiche usuali del senso comune e può indurre in errori logici di ragionamento. 
Il concetto di infinito sembra che sia superiore all'umana comprensione e che si possa solo intravedere, ma non comprendere del tutto, si veda Sant'Agostino - Le confessioni. 
Inoltre riflettendo sulla struttura di un infinito di cardinalità 1 come l'insieme dei numeri reali, si nota una forte analogia con la struttura dell'universo: che si estende all'infinito nell'infinitamente piccolo (si pensi al proliferare delle particelle subatomiche) e nell'infinitamente grande (si pensi all'immensità delle galassie). Noi esseri umani viviamo nel mezzo tra questi due ordini di grandezza.

ENGLISH TEXT
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THE CONCEPT OF INFINITY

Even if man is by nature finite and limited, he often encounters the concept of infinity.
Just think of two tracks that run parallel to the horizon line and make us think of two parallel lines that meet endlessly, to the immensity of the starry sky on a summer night.
These are all situations in which man encounters infinity and feels the need to understand him better or reason about it.
His own concept is very elusive, and one realizes that wanting to make it explicit puts in difficulty those who venture into this purpose.
Investigating the concept of infinity, one has the sensation similar to that of a being used to living in a flat, two-dimensional two-dimensional world that is suddenly catapulted into a three-dimensional space, and immediately feels a sense of loss and collapse of all his certainties.
Deepening the concept of infinity is almost like appearing on the edge of an abyss, and many mathematicians have made it the object of their research, pursuing it obsessively throughout their lives, managing only to grasp some aspects of it, and today can be considered a problem open.
In mathematics more than in other sectors, we frequently come across the concept of infinity, indeed we can say without a shadow of a doubt that mathematics is pervaded by the concept of infinity, just think of the concept, of number, of limit, of succession, of asymptote , of integral, of series, of infinite product, etc.
In Greek mathematical thought, still valid even today, two types of infinities were distinguished:

Infinity in power

The infinite in progress.

INFINITY IN POWER is a concept that is easier to understand and closer to common sense and is encountered for the first time when it comes to succession or infinite sums.
But often the sole handling of infinite sums, without the proper tools, makes us run into paradoxes.
Think of a very simple example of a series that has disturbed the sleep of illustrious mathematicians of the past and that represents the concept of infinity in power:

S=1-1+1-1+1-1+...

Reasoning, as for the normal sums, one could conclude by grouping the two-by-two terms that the sum S can be calculated in this way:

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+..= 0+0+0+0+0+.. = 0

But one can also work lawfully in another way

S=1+(-1+1)+(-1+1)+..= 1+0+0+0+.. = 1

But one can also work lawfully in another way

2S = 1-1+1-1+1+..
       1-1+1-1+1+..
__________________


2S = 1+0+0+0+0+0+..

Adding the terms in the equation to the right vertically two by two:

2S = 1

from which he concludes that

S = 1/2 = 0,50

But then how much is the sum worth? 0, 0.50 or 1?

It is concluded that to operate with the sums of infinite numbers the usual rules that apply for the sums of a finite number of terms cannot be applied.
We are facing one of the first paradoxes related to the concept of infinity.
The previous paradox has been overcome by modern mathematics, due to the fact that the sum we want to find simply does not exist, because it is a non-convergent series.
In fact the generic term of the sum that can be written in a more concise way as (-1) ^ n, with n belonging to the set of natural numbers N, does not respect a necessary condition for the convergence deriving from the Cauchy convergence criterion for inheritance limits:

the nth term of a series that admits a sum (or convergent) tends to zero with the tendency of n to infinity.

In essence, in the previous paradox we started looking for the sum of the series, but without asking ourselves if the sum could exist.
Infinity in power is a simpler concept to understand for the human mind, given that it is based on the concept of induction, typical of mathematical reasoning.
The concept of induction we used in the previous example when we thought of adding a finite number of terms of the infinite series or sum of which we have before and then we have extended by induction the sum to infinity.
The substance the principle of induction in poor words consists in reasoning on a finite number of terms for a certain property and then extending when found to infinity. A simple example of induction is the following:



2S(n) = 1+ 2   + 3   + 4   +..+(n-1)+n
        n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+..+ 2   +1
______________________________________
2S(n) = n(n+1)

From which it is concluded that:

S(n) = [n(n+1)]/2

So the sum of infinite terms represents a typical example of infinity in power, as we know that S (n) tends to infinity (or diverge), but reasoning on a finite number of terms we know how to calculate it. Example :

S(100) = [100(100+1)]/2 = 5050
S(1000) = [1000(1000+1)]/2 = 500500
S(100000) = [100000(100000+1)]/2 = 5000050000

and so on to infinity.
A salient, but very refined characteristic of the concept of infinity in power is that, even if we speak of infinite sets, they have the characteristic of being able to put themselves in biunivocal correspondence with the set of natural numbers, that is, it is possible to count them, even if the necessary time. to count them it is infinite.
It is therefore said that infinite sets in power are countable sets.
Countable infinite sets are the set of natural numbers N, the set of rational numbers Q (set of decimal numbers expressed as a ratio of integers).
The numerability of the set of rational numbers Q was proved by G. Cantor by the following reasoning:
arrange the natural numbers both horizontally and vertically and calculate all the possible fractions obtainable with them by crossing them two by two analogously to the Cartesian product operation and as you can see, we obtain a set that can be put in biunique correspondence with the set of natural numbers N.



In fact following the direction of the arrows you get the sequence:
(1/1), (1/2), (2/1), (3/1), (2/2), (1/3), (1/4) which, as seen by following the direction of red arrows, it is countable.


THE INFINITE IN PROGRESS is a much more complex concept and needs adequate reasoning to illustrate it and the first to try out this concept was the illustrious German mathematician Georg Cantor.
The substantial difference between an infinite set in action and a set in power lies in the fact that a set in power has a higher countability than that of natural numbers: in essence it is not possible to count its elements, even using an infinite time.
It is a concept that in a certain sense baffles the common sense that, through the principle of induction, manages to conceive an infinite whole in power, but that remains disoriented with respect to an infinite in act.
A noteworthy example of an infinite in action is the set R of real numbers (natural and rational numbers to which the irrational non-periodic have been added - example Pigreco, e, etc.).
The aforementioned set R contains within it the set N, and that of the rational numbers Q.
The mathematician Georg Cantor with his famous "diagonal argument" succeeded in proving that the set R has a numerability superior to that of the natural numbers since it is not possible to count its elements.
To prove it let us suppose that we have put together the set of natural numbers with the set of real numbers and imagine that we have reported everything in the following matching table:



After doing this we realize that there would always be at least one element that we didn't consider, since the real number obtained by adding one to all the decimal digits marked in red and shown in blue at the bottom would not be associated with any real number. Thus it is concluded that there are several orders of infinity (or cardinality) and the set R is an infinite set that has a cardinality greater than that of the sets it contains.
The numerability of an infinite set is indicated in mathematics by the first letter of the Hebrew alphabet אo.
Thus the set of natural numbers N and that of the rational Q have order of infinity or cardinality אo, while the set of real numbers has cardinality אl.
Still today it remains an unresolved problem to prove the existence of infinite sets that have an intermediate cardinality between אo or e אl, it is conjectured that it does not exist.
This mathematical conjecture, until it is denied with a counterexample, is indicated as a CONTINUUM HYPOTHESYS
The set of real numbers R which is the basis of modern mathematical analysis has characteristics that make it unique and superior to N and Q.
In fact for example in the set N we can say after n comes the number n + 1, the same thing we cannot say in R since between two real numbers there are infinite real numbers, the set itself is dense.
Moreover it has some disconcerting characteristics for common sense, in fact a part of it is possible to put it in correspondence with the whole whole, and the set of parts of the set R has cardinality 2^אo.
This property, moreover, is also common to power units, just think of the possibility of putting the set of even or odd natural numbers together with the whole set of natural numbers in biunivocal correspondence, since it is possible to count (using a time infinite) the even or odd odd numbers.
As stated above it is possible to prove it by pointing out that the real numbers included in the open interval 0 and 1 (ie without the end points 0 and 1) can be put in correspondence with the entire real line, something really incredible.



Therefore the infinite sets have the remarkable property that a part of them can be put in biunivocal correspondence with the whole, that is, the whole is equivalent to a part of it.
A property that is really disconcerting that makes us understand that going deeper into the concept of infinity transcends the usual logical rules of common sense and can lead to logical errors of reasoning.
The concept of infinity seems to be superior to human understanding and one can only glimpse, but not fully understand, see St. Augustine - Confessions.
Furthermore, reflecting on the structure of a cardinality infinity 1 as the set of real numbers, we note a strong analogy with the structure of the universe: extending infinitely into the infinitely small (think of the proliferation of subatomic particles) and in the infinitely large (think of the immensity of galaxies). We humans live in between these two orders of magnitude.